前言
这道题，本身就非常难，把它作为一个动态规划题目的标杆就好了，仰望一下
123. 买卖股票的最佳时机 III
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
示例 4：
输入：prices = [1]
输出：0
提示：
1 <= prices.length <= 105
0 <= prices[i] <= 105
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii
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暴力破解
O(N^2)
还能想出个暴力破解，不容易
这里两次买卖间不能有重叠，那就分成两部分，变成了两个LeetCode-121
前一段第i天一定是卖了，所以当天可以继续买
但，不出意外的超时了
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
max_profit = 0
for i in range(1, len(prices)):
profit = self.helper(prices, 0, i) + self.helper(prices, i, len(prices) - 1)
max_profit = max(max_profit, profit)
return max_profit
def helper(self, prices:List[int], start: int, end: int) -> int:
profit = 0
dp = [0 for i in range(start, end + 1)]
low = float('inf')
for i in range(start, end + 1):
low = min(low, prices[i])
profit = max(profit, prices[i] - low)
return profit
动态规划 + 状态机
O(N)
每一个状态也可以什么都不做，那就保持愿状态不变
状态
s0什么都不做，依然在状态s0
s0如果买入，就到状态s1
s1什么都不做，依然在状态s1
s1如果卖出，就到状态s2
s2什么都不做，依然在状态s2
s2如果买入，就到状态s3
s3什么都不做，依然在状态s3
s3如果卖出，就到状态s4
状态转移
# 假设，当前状态S, 前一个状态X
# 可以什么都做仍然在状态S，如果买入，相当于损失了钱
S = max(S, X - price)
# 类似的，卖出
S = Max(S, X + price)
代码如下
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
s0 = 0
s1 = s2 = s3 = s4 = float('-inf')
for price in prices:
s1 = max(s1, s0 - price)
s2 = max(s2, s1 + price)
s3 = max(s3, s2 - price)
s4 = max(s4, s3 + price)
return s4
动态规划
O(N)
状态定义
dp[k][i] 代表对于K次交易，第i天的最大收益
状态转移
- 如果第i天什么都不做
dp[k][i] = dp[k][i - 1]
- 如果第i天卖掉了, 那么前面一定要先买，定义买的那天为j, 则 0 <= j < i
# for循环 j = range(0, i), 找到最大的值
dp[k][i] = prices[i] - prices[j] + dp[k - 1][j - 1]
两种情况取最大值
初始化与边界条件
对于0次交易，收益都为0
注意, 遍历j的时候，要从1开始
计算方向
交易次数，由少到多
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
dp = [[0 for i in range(len(prices))] for j in range(3)]
for k in range(1, 3):
for i in range(1, len(prices)):
## 重复计算(Start)
low = prices[0]
for j in range(1, i):
low = min(low, prices[j] - dp[k - 1][j - 1])
## 重复计算(End)
dp[k][i] = max(dp[k][i - 1], prices[i] - low)
return dp[2][-1]
对于上面第三个for循环, 有重复计算
## 当i = 1时
low = prices[0]
## 当i = 2时
low = prices[0]
low = min(low, prices[1] - dp[k - 1][0])
## 当i = 3时
low = prices[0]
low = min(low, prices[1] - dp[k - 1][0])
low = min(low, prices[2] - dp[k - 1][1])
## 当i = 4时
low = prices[0]
low = min(low, prices[1] - dp[k - 1][0])
low = min(low, prices[2] - dp[k - 1][1])
low = min(low, prices[3] - dp[k - 1][2])
去掉重复计算，最终代码为:
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
dp = [[0 for i in range(len(prices))] for j in range(3)]
for k in range(1, 3):
low = prices[0]
for i in range(1, len(prices)):
low = min(low, prices[i] - dp[k - 1][i - 1])
dp[k][i] = max(dp[k][i - 1], prices[i] - low)
return dp[2][-1]
One More Thing
原来的low会保持k=1的最小值，然后是k=2的最小值
如果把两个for循环对掉一下, k的值是交替出现的, 需要单独数组来保持第k次交易的low值
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
dp = [[0 for i in range(len(prices))] for j in range(3)]
low = [prices[0] for i in range(3)]
for i in range(1, len(prices)):
for k in range(1, 3):
low[k] = min(low[k], prices[i] - dp[k - 1][i - 1])
dp[k][i] = max(dp[k][i - 1], prices[i] - low[k])
return dp[2][-1]
你会发现dp[k][i], 其中k只依赖k-1, i只依赖i-1, 所以把其中一维空间压缩，因为k比较小，选择压缩较大的i方向空间
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
dp = [0 for j in range(3)]
low = [prices[0] for i in range(3)]
for i in range(1, len(prices)):
for k in range(1, 3):
low[k] = min(low[k], prices[i] - dp[k - 1])
dp[k] = max(dp[k], prices[i] - low[k])
return dp[2]
因为k=2，可以把k展开
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
dp = [0 for j in range(3)]
low = [prices[0] for i in range(3)]
for i in range(1, len(prices)):
# low[1] = min(low[1], prices[i] - dp[0]), 因为dp[0] = 0 (0次交易收益总是0)
low[1] = min(low[1], prices[i])
dp[1] = max(dp[1], prices[i] - low[1])
low[2] = min(low[2], prices[i] - dp[1])
dp[2] = max(dp[2], prices[i] - low[2])
return dp[2]
四个变量就够了
# low[1] = buy1
# low[2] = buy2
# dp[1] = sell1
# dp[2] = sell2
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
buy1 = buy2 = prices[0]
sell1 = sell2 = 0
for i in range(1, len(prices)):
buy1 = min(buy1, prices[i])
sell1 = max(sell1, prices[i] - buy1)
buy2 = min(buy2, prices[i] - sell1)
sell2 = max(sell2, prices[i] - buy2)
return sell2
# 从index = 0开始
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
buy1 = buy2 = float('inf')
sell1 = sell2 = 0
for i in range(len(prices)):
buy1 = min(buy1, prices[i])
sell1 = max(sell1, prices[i] - buy1)
buy2 = min(buy2, prices[i] - sell1)
sell2 = max(sell2, prices[i] - buy2)
return sell2
对于第一次购买: 每天尽可能在低点买入，再高点卖出
对于第二次购买： 同样的逻辑，只是把第一次交易的收入，合进第二次成本(比如你第一次已经赚了100¥，那么200¥的股票，你就相当于只花了100¥)
–End–